题目重点：从公开题名还原可证明的闭区间训练版，说明相接端点与半开时间区间的差异。
题意与假设
这道练习题保留了面经中值得训练的核心约束，并将需要澄清的条件单独列出。现场拿到变体时，先和面试官确认这些条件。
- 训练版输入为合法闭区间 `[start,end]`，起点≤终点；共享端点属于重叠，例如 [1,2] 和 [2,3] 合为 [1,3]。
- 返回按 start 升序排列的最少个闭区间并集，不修改原输入；若业务是半开预约 `[start,end)` 且仅合并真重叠，等号处须改规则。
解题路线
- 按 `(start,end)` 排序。维护 merged 最后一段，它是已扫描区间形成的最后一个连通并集分量。
- 若下一段 start>最后段 end，它与已处理的最后分量不相交，开启新分量；否则把 end 扩到两者最大值。
- 正确性来自排序：后续 start 只会不小于当前 start，若已经与最后分量分离，就不可能再和更早分量重叠；若相交，扩展覆盖不丢点。
- 对 41,371 组短区间序列，以独立的重叠图连通分量闭包计算并集对照。
手动走一遍
[1,3]、[2,4]、[8,9]、[9,10] 经排序后，前两段合为 [1,4]，后两段共享端点 9 合为 [8,10]。若第二组是半开区间 [8,9)、[9,10)，它们没有共同时间点，但有些 API 仍选择‘相邻可合并’；须确认语义。
Python 参考实现
下面的代码按上文假设实现，适合本地运行并追加自己的测试用例。
代码区可横向滚动；使用键盘时，先聚焦代码区再按方向键查看。
def merge_closed_intervals(intervals: list[tuple[int, int]]) -> list[tuple[int, int]]:
"""Union closed intervals; endpoint equality counts as overlap."""
if any(start > end for start, end in intervals):
raise ValueError("interval start must not exceed end")
ordered = sorted(intervals)
merged: list[tuple[int, int]] = []
for start, end in ordered:
if not merged or start > merged[-1][1]:
merged.append((start, end))
else:
previous_start, previous_end = merged[-1]
merged[-1] = (previous_start, max(previous_end, end))
return merged
复杂度
排序 O(n log n)，扫描 O(n)，新输出 O(n) 空间；Python `sorted` 另用 O(n) 列表。若输入已按起点排序，可 O(n) 时间完成。
易错点与追问
容易失分的边界
- 端点开闭未确认就把 `start==end` 固定当重叠。
- 只与原始上一段比较，不用合并后的最大 end，漏掉链式覆盖。
- 排序只按 end 导致扫描不变量失效。
- 零长度区间与非法 `start>end` 不处理。
- 把此标准训练版宣称为题目精确输入格式。
继续深挖
- 如果是半开预约且只合并真实重叠，判断条件怎么改？
- 如何在线接收新区间并维持并集？
- 如何输出总覆盖长度而不逐点枚举？
- 怎样处理带时区的时间区间？
